मान लीजिए कि A = {x_1, x_2, dots, x_7} और B = | vedclass

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Question

(A) हमें $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दिया गया है।हमें उन आच्छादक फलनों $f: A 	o B$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $A$ के ठीक

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$14 	imes {}^7C_3$

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(A) हमें $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दिया गया है।हमें उन आच्छादक फलनों $f: A 	o B$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $A$ के ठीक $3$ अवयव $y_2$ पर मैप होते हैं।सबसे पहले,$A$ से $3$ अवयव चुनने के तरीके ${}^7C_3$ हैं।अब,$A$ के शेष $4$ अवयवों को $B$ के शेष $2$ अवयवों $\{y_1, y_3\}$ पर मैप होना चाहिए।फलन को आच्छादक होने के लिए,समुच्चय $\{y_1, y_3\}$ को उन $4$ अवयवों द्वारा कवर किया जाना चाहिए।इन $4$ अवयवों से $\{y_1, y_3\}$ तक के कुल फलनों की संख्या $2^4 = 16$ है।फलन के आच्छादक होने के लिए हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ सभी $4$ अवयव केवल $y_1$ या केवल $y_3$ पर मैप होते हैं।अतः,तरीकों की संख्या $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ होगी।इसलिए,ऐसे कुल आच्छादक फलनों की संख्या ${}^7C_3 	imes 14 = 14 	imes {}^7C_3$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A) f(-5)+f(0)+f(-1)$	$(I) 16$
$(B) f(f(5)+10f(-3))$	$(II) 40$
$(C) f(f(-4))$	$(III) -31$
$(D) f(f(f(1)))$	$(IV) -12$
	$(V) 19$

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ऐसे आच्छादक (bijective) फलनों $f : \{1, 3, 5, 7, \ldots, 99\} \rightarrow \{2, 4, 6, 8, \ldots, 100\}$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq f(21) \geq \ldots \geq f(99)$ हो।

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